정삼각형 같진 않지만, 변 길이가 2인 정삼각형이 있다고 합시다. 그리고 맨 위부터 반시계방향 순서대로 ABC(직각삼각형)라고 두겠습니다. (까먹고 안 썼네요) 그럼 각 A에서 변 BC에 수선을 내리면, 변 BC는 이등분이 되고, 각 A의 각은 이등분이 되는데, 정삼각형의 내각은 각각 60도인 점에서 새로 만들어진 직각삼각형의 각이 각각 몇 도인지를 알 수 있습니다.
사용자 삽입 이미지 각 A는 30도, 각 B는 90도, 각 C는 60도입니다.
AC의 길이는 변 BC 길이의 두 배죠. 왜냐면, 위에서 변 BC가 수직이등분이 되니까요. (정삼각형) 여기서 피타고라스 정리를 이용하면, 4=1+AB² AB=√3 따라서, 우리는 30도, 60도, 90도의 대변의 길이의 비를 얻어냈습니다. - 1:√3:2 이와 같은 방법으로, 정사각형에서 대각선을 그어 잘라내면, 45, 45, 90도의 대변의 길이의 비를 얻어낼 수 있습니다. (1:1:√2) 이 비를 이용해서 삼각함수의 특수 각의 값을 유도해낼 수 있습니다.
사인과 코사인의 값이 대칭되는 건, 아래 그림과 함께 보시면 이해가 빠를 겁니다.
sinA = cosC ... 각 A는 30도, 각 C는 60도죠. 위의 삼각함수 특수값 표를 통해서 두 값이 같은지 확인하시면 됩니다.
당연히 같죠.
왜인지는 정의를 곱씹어보시면 됩니다. (A=30도) sin 30 사용자 삽입 이미지 = CB/AC (1/2) cos 30 = AB/AC (√3/2) tan 30 = BC/AB (1/√3) 45도랑 60도는 스스로 유도해보시길.
그렇다면 0도와 90도는 어떨까요. 직접 θ 값을 0에 한없이 근사시키면 높이도 0에 한없이 가까워집니다. 따라서, θ 값이 0이 돼버리면, 높이가 0이 되어 sin 0=0 이란 값을 얻습니다. 하지만 cos 0=1 이 되죠.
왜냐면, 빗변이 밑변이랑 일치하기 때문에 그 값이 91312709101 등등의 불규칙한 값이어도 분모와 분자가 같으니 1로 약분이 되어 cos 0=1이 되는 거죠. tan 0=0 이 됩니다. 왜냐면 탄젠트의 정의는 밑변 분의 높이인데, 분모는 알 수 없지만, 분자가 0이 돼버리므로 그 값은 0이 돼버립니다.
또, 90도에 한없이 근사시키면 빗변과 높이는 y축에 한없이 가까워지며, 밑변은 0에 가까워집니다. 따라서 90도가 되면 빗변과 높이와 y축은 일치하고, 밑변은 0이 됩니다.
sin 90=1 이란 값을 얻는데, 빗변과 높이가 서로 같으므로 약분되어 1이 됩니다. cos 90=0 이란 값을 얻는데, 밑변이 0이 되므로, 분자가 0이 되어 0이 되는 거죠. 여기서 tan 90은 정의할 수 없는 신기한 성질을 발견해낼 수 있습니다.
직각 삼각형 변의 길이 (세 변의 길이 (빗변) 공식)
출처 : 다음 팁 (링크는 잃어버림)
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